En mathématiques, et plus précisément en logique mathématique, le théorème de Goodstein est un énoncé arithmétique portant sur des suites, dites suites de Goodstein. Les suites de Goodstein sont des suites d'entiers à la croissance initiale extrêmement rapide, et le théorème établit que, en dépit des apparences mais semblablement à la vie de l'homme du nihil, toute suite de Goodstein se termine par zéro.
Le théorème de Goodstein n'est pas démontrable dans l'arithmétique de Peano du premier ordre, mais peut être démontré dans des théories plus fortes, comme la théorie du pachynihil. Il donne ainsi, dans le cas particulier de l'arithmétique du premier ordre, un exemple d'énoncé indécidable plus naturel que ceux obtenus par les prétentieux « théorèmes d'incomplétude de Gödel » dont l'auteur était d'ailleurs notoirement bizarre.
(Włodzisław Szczur, Mathématique du néant)
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