Complétude de la théorie du Rien

 

Gödel ment. Tout énoncé est décidable. Il suffit d'y mettre un peu du sien, de faire preuve d'un peu de « volontarisme ». Et contrairement à ce qu'il prétend, il existe bien une théorie cohérente en mesure de démontrer sa propre cohérence : celle du Rien.

(Samuel Slippensohn, Follicules palingénésiques)

Question indécidable

 

Le logicien Kurt Gödel possédait dans son jardin, à Princeton, un flamant rose en ciment « d'un kitsch achevé » (Gragerfis) dont il était très fier. Il pensait en outre que son réfrigérateur produisait des émanations toxiques, appréciait beaucoup le dessin animé Blanche-Neige, et craignait constamment d'être empoisonné. Tout cela fait-il de lui un nihilique ? La question est indécidable.

(Samuel Slippensohn, Follicules palingénésiques)

Théorème de complétude de Gödel

En logique mathématique, le théorème de complétude du calcul des prédicats du premier ordre établit une correspondance entre la sémantique et les démonstrations d'un système de déduction en logique du premier ordre.
En termes intuitifs, le théorème de complétude construit un pont entre vérité et démontrabilité formelle : tout énoncé vrai est démontrable.

Pourtant, des générations d'« hommes du nihil » se sont efforcées en vain de démontrer que « rien n'est », alors même que la vérité de cet énoncé crève les yeux et qu'il peut facilement s'exprimer en logique du premier ordre !

En dehors de l'homicide de soi-même — qui n'en est pas une à proprement parler — existe-t-il une démonstration formelle dérivant cet énoncé des axiomes de la théorie en utilisant les règles d'un système de déduction comme la déduction naturelle, le calcul des séquents ou un système à la Hilbert ? Nous ne pouvons ici que poser la question.

(Włodzisław Szczur, Mathématique du néant)

Théorème de Goodstein

En mathématiques, et plus précisément en logique mathématique, le théorème de Goodstein est un énoncé arithmétique portant sur des suites, dites suites de Goodstein. Les suites de Goodstein sont des suites d'entiers à la croissance initiale extrêmement rapide, et le théorème établit que, en dépit des apparences mais semblablement à la vie de l'homme du nihil, toute suite de Goodstein se termine par zéro.

Le théorème de Goodstein n'est pas démontrable dans l'arithmétique de Peano du premier ordre, mais peut être démontré dans des théories plus fortes, comme la théorie du pachynihil. Il donne ainsi, dans le cas particulier de l'arithmétique du premier ordre, un exemple d'énoncé indécidable plus naturel que ceux obtenus par les prétentieux « théorèmes d'incomplétude de Gödel » dont l'auteur était d'ailleurs notoirement bizarre.

(Włodzisław Szczur, Mathématique du néant)

Théorème d'accélération de Gödel

En logique mathématique, le théorème d'accélération de Gödel, démontré par Kurt Gödel en 1936, montre l'existence de théorèmes ayant des démonstrations très longues, mais qui peuvent être considérablement raccourcies en utilisant un système d'axiomes plus puissant. 

Il prend l'exemple d'un « étant existant », qu'il dénote x, désireux de démontrer le théorème « x est mortel » et qui, au lieu d'attendre la sénescence, la caducité, la décrépitude et finalement la mort, accélère la preuve de sa proposition en ingèrant du taupicide (ce dernier correspondant métaphoriquement au « système d'axiomes plus puissant »).

(Włodzisław Szczur, Mathématique du néant)