« Soit un cahier comportant autant de pages que l'on veut. On numérote chaque page, et sur chacune, on écrit un ensemble d'entiers (tous différents), en veillant à ne jamais écrire deux fois le même ensemble. On dit qu'un nombre N est ordinaire si l'ensemble écrit à la page N ne contient pas N ; dans le cas contraire, on dit que N est extraordinaire. Supposons que l'on ait écrit sur ce cahier tous les ensembles possibles. La question à laquelle doit répondre l'étant existant est : à quelle catégorie appartient l'entier sur la page duquel on a écrit l'ensemble des nombres ordinaires ? »
À l'aide de ce paradoxe, Cantor tente de prouver — sans y réussir, d'après son adversaire Kronecker — que le cardinal d'un ensemble est toujours strictement inférieur au cardinal de l'ensemble de ses parties, et qu'il existe une « infinité d'infinis ». Mais en 1884, incroyable coup de théâtre, Cantor est frappé de son premier accès de dépression ! Selon Joseph Dauben, cette crise n'aurait pas été causée par les attaques de Kronecker, mais par le fameux cahier en quoi le mathématicien avait fini par voir une allégorie du Rien !
Ô vanité ! ô néant ! « ô aueuglement estrange des hommes, gloriatur in malitia sua ! »
(Włodzisław Szczur, Mathématique du néant)
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